Question

如圖,三棱柱ABCA₁B₁C₁中,CA=CB,AB=AA₁,∠BAA₁=60°.

(1)證明:AB⊥A₁C;
(2)若AB=CB=2,A₁C=,求三棱柱ABCA₁B₁C₁的體積.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析   (2)3

解析(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接OC,OA₁,A₁B.

因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.
由于AB=AA₁,∠BAA₁=60°,
故△AA₁B為等邊三角形,
所以O(shè)A₁⊥AB.
因?yàn)镺C∩OA₁=O,
所以AB⊥平面OA₁C.
又A₁C?平面OA₁C,故AB⊥A₁C.
(2)解:由題設(shè)知△ABC與△AA₁B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以O(shè)C=OA₁=.
又A₁C=,則A₁C²=OC²+O,故OA₁⊥OC.
因?yàn)镺C∩AB=O,所以O(shè)A₁⊥平面ABC,OA₁為三棱柱ABCA₁B₁C₁的高.
又△ABC的面積S_△ABC=,故三棱柱ABCA₁B₁C₁的體積V=S_△ABC×OA₁=3.