Question

設二次函數f（x）=x²+x，當x∈[n，n+1]（n∈N*）時，f（x）的所有整數值的個數為g（n）．
（1）試用n表示g（n）；
（2）設an=

2n3+3n2

g(n)

（n∈N*），S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n；
（3）設bn=

g(n)

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜M（M∈Z），求M的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意得g（n）=f（n+1）-f（n）+1，g（n）可求；
（2）an=

2n3+3n2

g(n)

=n2，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，對n分奇、偶討論解決即可；
（3）bn=

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，利用錯位相減法可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，由T_n＜M（M∈Z），可求M的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+x，
∴g（n）=f（n+1）-f（n）+1=2n+3；
（2）∵an=

2n3+3n2

g(n)

=n2，
∴S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²
∴Sn=

- n(n+1) 2 ，n偶 n(n+1) 2 ，n奇

；
（3）∵bn=

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，
∴Tn=

5

2

+

7

4

+

9

8

+…+

2n+3

2n

，①
 

1

2

Tn=   

5

4

+

7

8

+

9

16

+…+

2n+3

2n+1

②
①-②Tn=7 -

2n+7

2n

＜M
∴M_min=7．

點評：本題考查二次函數的性質與數列求和的結合，著重考查數列中分類討論與轉化的思想，注重錯位相減法的考查，屬于難題．