Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，C上一點(diǎn)P滿(mǎn)足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓面積為4π．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的方程，算出a=5且焦距|F₁F₂|=2c=10．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，根據(jù)橢圓的定義和勾股定理建立關(guān)于m、n的方程組，平方相減即可求出|PF₁|•|PF₂|=48，結(jié)合直角三角形的面積公式，可得△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=24，再由S=$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|），求得r，即可得到所求內(nèi)切圓的面積．

解答 解：∵橢圓$C：\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，
∴a²=49，b²=24，可得c²=a²-b²=25，即a=7，c=5，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則有m+n=2a=14，m²+n²=（2c）²=100，
可得2mn=96，即mn=48，
∴|PF₁|•|PF₂|=48，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×48=24，
由S=$\frac{1}{2}$r（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）=$\frac{1}{2}$r•（2a+2c）=12r（r為內(nèi)切圓的半徑），
由12r=24，解得r=2，則所求內(nèi)切圓的面積為4π．
故答案為：4π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形為直角三角形，求它的面積，著重考查了勾股定理、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．