Question

6．已知實數x、y滿足x²+y²=1，則$\frac{2xy}{x+y+1}$的最小值為（　　）

• A． -1-$\sqrt{2}$
• B． -1+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{2}$
• D． 1-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 實數x、y滿足x²+y²=1，設x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．可得$\frac{2xy}{x+y+1}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+1}$，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，2sinθcosθ=t²-1．代入化簡即可得出．

解答 解：∵實數x、y滿足x²+y²=1，
設x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴$\frac{2xy}{x+y+1}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+1}$，
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
t²=1+2sinθcosθ，∴2sinθcosθ=t²-1．
∴$\frac{2xy}{x+y+1}$=$\frac{{t}^{2}-1}{t+1}$=t-1∈$[-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1]$．
∴$\frac{2xy}{x+y+1}$的最小值為-1-$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了三角函數求值、“換元法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．