Question

（本題滿(mǎn)分12分）

設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，是橢圓+=(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知向量m=(，)，n=(，)，若m·n=0且橢圓的離心率e=，短軸長(zhǎng)為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)試問(wèn)：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由..

Answer 1

(本小題滿(mǎn)分12分)

解：(Ⅰ)2b=2.b=1，e=

橢圓的方程為                       ………………………4分

(Ⅱ)(1)當(dāng)直線(xiàn)AB斜率不存時(shí)，即x₁=x₂，y_{1= -}y₂，由＝0

                     ………………………6分

又A(x₁,y₁)在橢圓上，所以

S＝

所以三角形的面積為定值                     …k*s*5u…………7分

(2)當(dāng)直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b

得到x₁+ x₁=

                             ………………………8分

代入整理得：

2b²- k² =4                                ………………………10分

所以三角形的面積為定值.                 ……………………12分