Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù).

(1)求證：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最值；

(3)函數(shù)在上恒有成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù). (2) 的最小值為，此時；無最大值. (3) 的取值范圍是. 

【解析】

試題分析：(1)證明函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)本質(zhì)就是證明在上恒成立.

（2）當(dāng)時,令，然后得到極值點，進而求出極值，再與值比較從而得到f(x)的最大值與最小值.

(3) 函數(shù)在上恒有成立問題應(yīng)轉(zhuǎn)化為,

然后利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)在區(qū)間[1,2]的極值，最值即可求出其最小值，問題得解.

(1)（法一：定義法）

任取且,則.                 ········1分

∵，

∴.                                                  ·······3分

∴ 函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).                            ········4分

（法二：導(dǎo)數(shù)法）

當(dāng)，

∴ 函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).                            ········4分

(2) 當(dāng)時，；

由（1）知函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).                       ·······5分

∴，即                               ·······7分

∴ 的最小值為，此時；無最大值.                        ·······8分

(3) 依題意， ，即在上恒成立.

∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴                   ······11分

∴ ，

又.  ∴

故的取值范圍是.                                            ·······14分

考點：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性，極值，最值當(dāng)中的應(yīng)用.

點評：（1）連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在某個區(qū)間I上單調(diào)遞增（減）等價于在區(qū)間I上恒成立.

（2）在求某個區(qū)間上的最值時，應(yīng)先求出極值，然后從極值與區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值當(dāng)中找到最大值和最小值.

（3）不等式恒成立問題一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來研究.