Question

已知雙曲線的左、右頂點分別為,點,是雙曲線上不同的兩個動點.

（1）求直線與交點的軌跡E的方程

（2）若過點H(0, h)（h>1）的兩條直線和與軌跡E都只有一個交點，且，求的值.

Answer 1

[來  經(jīng)檢驗,以上所得橢圓的四個頂點無法取到,故交點軌跡E的方程為

（2）設(shè)，則由知，.

將代入得，即，

若與橢圓相切,則，即;

同理若與橢圓相切,則.

由與與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況:

[1]直線與都與橢圓相切,即,且,消去得，即，

從而，即;

 [2]直線過點,而與橢圓相切,此時,解得;

[3]直線過點,而與橢圓相切,此時,解得;

[4] 直線過點,而直線過點,此時

綜上所述,h的值為

（注：本題第(2)問中的“只有一個交點”不知命題的專家們指的是相交時的唯一交點還是把相切時的切點也當成是唯一的交點(嚴格地說,切點應(yīng)該算做兩個交點，只不過這兩個交點重合而已)，如果本題指的是嚴格意義上的交點，那么上述解答中只需要第四種情況，也就就是說h只能取這一個值. 如果本題將第(2)問中的“交點”改成“公共點”就不會有這種疑惑了.）