Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng),為兩個不相等的正數(shù)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；時，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)； （2）見解析.

【解析】

(1)求出，分兩種種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）設(shè)，原不等式等價于，令，則原不等式也等價于即.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而可得結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

若，，則在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；

若，令，得.則當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).

（2）當(dāng)時，.不妨設(shè)，則原不等式等價于，

令，則原不等式也等價于即.

下面證明當(dāng)時，恒成立.

設(shè)，則，

故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，即，

所以.