Question

【題目】在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度， 為答對(duì)該題的人數(shù)， 為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)240名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試.共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如表所示：

測(cè)試后，隨機(jī)抽取了 20名學(xué)生的答題數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這240名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)；

（2）從抽取的20名學(xué)生中再隨機(jī)抽取2名學(xué)生，記這2名學(xué)生中第5題答對(duì)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度， 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定：若，則稱(chēng)該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.試據(jù)此判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

Answer 1

【答案】(1)96人；(2)見(jiàn)解析， （3）該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的

【解析】試題分析：（1）題設(shè)中給出了難度系數(shù)是答對(duì)該題的人數(shù)除以參加考試的總?cè)藬?shù)，由第二張表可知實(shí)測(cè)難度為，故估計(jì)240人中答對(duì)該題的人數(shù)約為96人.（2）離散型隨機(jī)變量服從超幾何分布，利用公式可以計(jì)算出、、，列表給出分布列，并利用公式計(jì)算.（3）先計(jì)算出各題的實(shí)測(cè)難度，根據(jù)題設(shè)給出的公式計(jì)算,該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.

解析：（1）因?yàn)?0人中答對(duì)第5題的人數(shù)為8人，因此第5題的實(shí)測(cè)難度為.所以，估計(jì)240人中有人實(shí)測(cè)答對(duì)第5題.

（2）的可能取值是 ； ； .

的分布列為：

.

（3）將抽樣的20名學(xué)生中第題的實(shí)測(cè)難度，作為24O名學(xué)生第題的實(shí)測(cè)難度.各題的實(shí)測(cè)難度如下表：

題號(hào)	1	2	3	4	5
實(shí)測(cè)難度	0.8	0.8	0.7	0.7	0.4

所以，因?yàn)?/span>，所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.