Question

箱中裝有12張大小、質量一樣的卡片，每張卡片正面分別標有1到12中的一個號碼，正面號碼為n的卡片反面標的數字是n²-9n+22，卡片正反面用顏色區(qū)分．
（I）如果任意取出一張卡片，求正面數字不大于反面數字的概率；
（II）如果有放回地抽取三張卡片，用X表示三張中正面數字不大于反面數字的張數求X的分布列和數學期望．
（III）如果同時取出兩張卡片，在正面數學無3的倍數的情況下，試求他們反面數字相同的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由不等式n≤n²-9n+22，求出滿足條件的n，然后根據古典概型的概率公式進行計算即可；
（2）由題意，X的可能取值為0，1，2，3，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式求出相應的概率，得到分布列，而X～B（3，），從而求出X的數學期望；
（3）當他們反面數字相同時，設取出的是第m號卡片和第n號卡片（m≠n）根據m²-9m+22=n²-9n+22．求得m+n=9，從而得到符合條件的取法，記“同時取出兩張卡片，正面數字無3的倍數”為事件A，記“同時取出兩張卡片，反面數字相同”為事件B．求出P（A），P（AB），從而．
解答：解：（1）由不等式n≤n²-9n+22，得或．
由于n∈{1，2，…，12}，所以n=1，2，3，7，8，9，10，11，12．
即共有9張卡片正面數字不大于反面數字．
故所有的概率為．
（2）由題意，X的可能取值為0，1，2，3，則，
，，，
故X的分布列為

X	0	1	2	3
P

X～B（3，）．所以X的數學期望EX=3×=．
（3）當他們反面數字相同時，設取出的是第m號卡片和第n號卡片（m≠n）．
由m²-9m+22=n²-9n+22．得9（n-m）=n²-m²，由m≠n，得m+n=9．
故符合條件的取法為1，8；2，7；3，6；4，5，舍掉3，6．
記“同時取出兩張卡片，正面數字無3的倍數”為事件A，記“同時取出兩張卡片，反面數字相同”為事件B．
得，，
所以．
點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望和條件概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．