Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到右準(zhǔn)線的距離為1．過軸上一點 為常數(shù)，且的直線與橢圓交于兩點，與交于點，是弦的中點，直線與交于點．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）經(jīng)過定點

【解析】

（1）由題意可得，從而得到橢圓方程；

（2）對斜率分類討論，斜率存在時直線的方程為，聯(lián)立方程可得，可得，進而可得直線的方程為，求得，表示圓的方程，可得定點.

（1）由題意，得，解得，所以，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題意，當(dāng)直線的斜率不存在或為零時顯然不符合題意；

所以設(shè)的斜率為，則直線的方程為，

又準(zhǔn)線方程為，

所以點的坐標(biāo)為，

由得，，

即

所以，，

所以，

從而直線的方程為，（也可用點差法求解）

所以點的坐標(biāo)為，

所以以為直徑的圓的方程為，

即，

因為該式對恒成立，令，得，

所以以為直徑的圓經(jīng)過定點．