Question

4．以矩形ABCD的邊AB所在直線為x軸，矩形的對(duì)稱軸為y軸．建立直角坐標(biāo)系xOy．已知AB=2BC=4，拋物線y=ax²+c的頂點(diǎn)為矩形ABCD的中心，且經(jīng)過C，D兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式：
（2）如圖2，直線y=kx+2（k＞0）與拋物線y=ax²+c交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與y軸交于P點(diǎn)，且PF=2PE，點(diǎn)Q為直線EF下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QEF面積最大時(shí)，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如圖3，M為y軸上一點(diǎn)，S為拋物線上一點(diǎn)，SN⊥x軸于N，且無論S在拋物線的什么位置，總有PM=PN，作∠MSN的平分線交y軸于G，當(dāng)G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），求S點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求出矩形的中心及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出解析式的頂點(diǎn)式，再由C點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案；
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，由PF=2PE，可得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出直線的斜率，平移直線與拋物線相切時(shí)，△QEF面積最大，進(jìn)而得到答案；
（3）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），準(zhǔn)線為x軸，由M為y軸上一點(diǎn)，S為拋物線上一點(diǎn)，SN⊥x軸于N，且無論S在拋物線的什么位置，總有SM=PN，可得：M即為拋物線的焦點(diǎn)（0，2），進(jìn)而由斜率公式和二倍角的正切公式，求出S的坐標(biāo)，可得答案．

解答 解：（1）∵AB=2BC=4，
故矩形中心的坐標(biāo)為（0，1），即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+1，（a＞0），
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
代入得：a=$\frac{1}{4}$，
故拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²+1，
（2）將y=kx+2代入y=$\frac{1}{4}$x²+1得：$\frac{1}{4}$x²-kx-1=0，
解得：x=$2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}$，或x=$2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∵PF=2PE，
∴2（$2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}$）+$2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，
解得：k=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
設(shè)y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+b與y=$\frac{1}{4}$x²+1相切，
即$\frac{1}{4}$x²-$\frac{\sqrt{2}}{4}$x-b+1=0的△=$\frac{1}{8}$+b-1=0，
解得：b=$\frac{7}{8}$，
此時(shí)：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{9}{8}$，
故當(dāng)△QEF面積最大時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$），
（3）∵拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴拋物線的方程可化為：x²=4（y-1），
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），準(zhǔn)線為x軸，
由M為y軸上一點(diǎn)，S為拋物線上一點(diǎn)，SN⊥x軸于N，且無論S在拋物線的什么位置，總有SM=PN，
可得：M即為拋物線的焦點(diǎn)（0，2），
∠MSN的平分線交y軸于G，
則設(shè)直線SG的斜率為k，則直線MS的斜率為：$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，
設(shè)S點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x，$\frac{1}{4}$x²+1），
則k=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}+2}{x}$，$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$=$\frac{\frac{1}{4}{x}^{2}-1}{x}$，
解得：x=2$\sqrt{6}$，$\frac{1}{4}$x²+1=7，
故S點(diǎn)的坐標(biāo)為（2$\sqrt{6}$，7）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．