Question

15．如圖，圓O的半徑為2，等腰△ABC的底邊的兩端點(diǎn)B，C在圓O上，AB與圓O交于點(diǎn)D，AD=2，圓O的切線DE交AC于E點(diǎn)．
（I）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）若∠A=30°，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）設(shè)AC交圓O于點(diǎn)F，則∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，證明四邊形ADOF是菱形，OD∥AC，即可證明DE⊥AC；
（Ⅱ）作OG⊥BD于點(diǎn)G，則G是BD的中點(diǎn)，DG=ODcos30°，即可求BD的長(zhǎng)．

解答 （I）證明：設(shè)AC交圓O于點(diǎn)F，則∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，
∵∠B=∠C，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF=2，
∵OD=OF=2，
∴四邊形ADOF是菱形，
∴OD∥AC，
∵DE為切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（Ⅱ）作OG⊥BD于點(diǎn)G，則G是BD的中點(diǎn)，
∵OD∥AC，
∴∠BDO=∠A=30°，
∴DG=ODcos30°=$\sqrt{3}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ)．