Question

已知銳角三角形ABC中，（13分）

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設(shè)AB=3，求AB邊上的高

 

Answer 1

【答案】

（1）sin(A+B)= ,sin(A-B)=

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=

sin(A- B)=sinAcosB-sinBcosA=

兩式相加相減后可得：sinAcosB= ，sinBcosA=

將兩式相除，可得tanA=2tanB

（2）∵△ABC是銳角三角形

∴0＜C＜

又A＋B＝π－C

∴＜A＋B＜π

∵sin(A＋B)＝3/5

∴cos(A＋B)＝＝－

則tan(A＋B)＝sin(A＋B)/cos(A＋B)＝－

即(tanA＋tanB)/(1－tanAtanB)＝－

又tanA＝2tanB

∴3tanB/(1－2tan²B)＝－

即2tan²B－4tanB－1＝0

解得tanB＝∵0＜B＜

∴tanB＝＝1＋

【解析】把已知的兩等式分別利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將化簡(jiǎn)后的兩等式組成方程組，兩方程相加相減可得出sinAcosB及cosAsinB的值，兩式相除并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系可得到tanA與tanB的關(guān)系，由三角形為銳角三角形，得到C的范圍，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出A+B的范圍，由sin（A+B）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)tan（A+B），將得出的tanA的關(guān)系式代入得到關(guān)于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值