Question

【題目】已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.

（1）求與的解析式；

（2）若定義在實(shí)數(shù)集上的以2為最小正周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，試求在閉區(qū)間上的表達(dá)式，并證明在閉區(qū)間上單調(diào)遞減；

（3）設(shè)（其中為常數(shù)），若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）;證明見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)定義,可分別代入得關(guān)于與的方程組,解方程組即可求得與的解析式;

（2）由為以2為最小正周期的周期函數(shù),所以當(dāng)時(shí),即可根據(jù)求得求在閉區(qū)間上的表達(dá)式.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,任取,即可通過作差法證明函數(shù)的單調(diào)性.

（3）利用換元法,令,由可求得的取值范圍.則.由可知當(dāng)時(shí)滿足,因而可知恒成立.分離參數(shù)可知,結(jié)合基本不等式即可求得的取值范圍.

（1）由①,

因?yàn)?/span>是偶函數(shù),是奇函數(shù)

所以有,即②

∵,定義在實(shí)數(shù)集上

由①和②解得,

（2）是上以2為正周期的周期函數(shù)

所以當(dāng)時(shí),

即在閉區(qū)間上的表達(dá)式為

下面證明在閉區(qū)間上遞減:

,當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)等號(hào)成立.對(duì)于任意

因?yàn)?/span>,所以,,,,

從而,所以當(dāng)時(shí),遞減

（3）∵在單調(diào)遞增

∴

∴對(duì)于恒成立

∴對(duì)于恒成立

令,則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,且

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減

∴

∴為的取值范圍