Question

（選做題）已知函數f（x）=|x+1|，
（1）解不等式f（x）≥2x+1；
（2）?x∈R，使不等式f（x-2）-f（x+6）＜m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過分類討論即可解出；
（2）把問題等價轉化為（|x-1|-|x+7|）_min＜m，再求出其最小值即可．

解答：解：（1）當x+1≥0即x≥-1時，x+1≥2x+1，∴-1≤x≤0，
當x+1＜0即x＜-1時，-x-1≥2x+1，∴x＜-1，
∴不等式的解集為{x|x≤0}．
（2）∵f（x-2）=|x-1|，f（x+6）=|x+7|，∴|x-1|-|x+7|＜m，
∵?x∈R，使不等式|x-1|-|x+7|＜m成立，∴m大于|x-1|-|x+7|的最小值．
令g（x）=|x-1|-|x-7|，
則g（x）=

-8，當x≥1時 -2x-6，當-7＜x＜1時 8，當x≤-7時

，
∴g（x）的最小值為-8．
∴m＞-8．

點評：熟練掌握分類討論的思想方法、等價轉化及分段函數的最值的求法是解題的關鍵．