Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）在角α的終邊上，點(diǎn)Q（$\frac{1}{3}$，-1）在角β的終邊上，點(diǎn)M（sin$\frac{2π}{3}$，cos$\frac{2π}{3}$）在角γ終邊上．
（1）求sinα，cosβ，tanγ的值；
（2）求sin（α+2β）的值．

Answer 1

分析 由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα，cosβ，tanγ的值，再利用二倍角公式求得sin2β、cos2β的值，再利用兩角和的正弦公式求得sin（α+2β）的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）在角α的終邊上，點(diǎn)Q（$\frac{1}{3}$，-1）在角β的終邊上，
點(diǎn)M（sin$\frac{2π}{3}$，cos$\frac{2π}{3}$）在角γ終邊上，
∴sinα=$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{4}{9}}}$=$\frac{3}{5}$；
sinβ=$\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosβ=$\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{9}+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
tanγ=$\frac{cos\frac{2π}{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）由（1）得 sin2β=2sinβcosβ=-$\frac{3}{5}$＜0，cos2β=2cos²β-1=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、二倍角公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．