Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比為q，a₁=

3

2

，其前n項和為S_n（n∈N^*），且S₂，S₄，S₃成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=S_n-

1

Sn

（n∈N^*），求b_n的最大值與最小值．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出S₂，S₄，S₃，然后根據(jù)S₂，S₄，S₃成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質列出關系式，將表示出的S₂，S₄，S₃代入得到關于a₁與q的關系式，由a₁≠0，兩邊同時除以a₁，得到關于q的方程，求出方程的解，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）S_n=1-(-

1

2

)n，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出b_n的最大值與最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，q≠1，則
∵S₂，S₄，S₃成等差數(shù)列，
∴2S₄=S₂+S₃，
又數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴4（a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³）=（a₁+a₁q）+（a₁+a₁q+a₁q²），
整理得：2q²-q-1=0，
解得：q=1或q=-

1

2

，
∴a_n=

3

2

•(-

1

2

)n-1；

（Ⅱ）S_n=1-(-

1

2

)n，
n為奇數(shù)時，S_n=1+

1

2n

，隨著n的增大而減小，所以1＜S_n≤S₁=

3

2

，
因為y=x-

1

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，b_n=S_n-

1

Sn

（n∈N^*），
所以0＜b_n≤

5

6

；
n為偶數(shù)時，S_n=1-

1

2n

，隨著n的增大而增大，所以S₂≤S_n＜1，
因為y=x-

1

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，b_n=S_n-

1

Sn

（n∈N^*），
所以-

7

12

≤b_n＜0；
所以-

7

12

≤b_n＜0或0＜b_n≤

5

6

，
所以b_n的最大值為

5

6

，最小值為-

7

12

．

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質，等比數(shù)列的通項公式、求和公式，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．