Question

已知函數(shù)，其中．

（1）若時(shí)，記存在使

成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

⑴ ;⑵

【解析】

試題分析：⑴由已知先寫出，的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系分別求出的最大值和的最小值，只要使得最大值大于最小值，就能保證題設(shè)的條件成立；⑵函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，所以做關(guān)于函數(shù)解析式的討論時(shí)一定要討論參數(shù)的取值，本題關(guān)于參數(shù)分三種情況進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值，解題時(shí)注意要全面討論，不能漏解.

試題解析：（1）由已知得解得,

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增,

所以,                                3分

又顯然則在上是遞增函數(shù)，，所以,

存在使成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是；            .6分

（2）解：，分類討論：

① 當(dāng)時(shí)，,

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在只有最小值沒有最大值,..8分

當(dāng)，;

② 當(dāng)時(shí)，令，得，，與的情況如下：

	↗		↘

故的單調(diào)減區(qū)間是，；單調(diào)增區(qū)間是．

當(dāng)時(shí)，由上得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上存在最大值．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023153496488138/SYS201310302316140082686822_DA.files/image054.png">,

設(shè)為的零點(diǎn)，易知，且．從而時(shí)，；時(shí)，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．       .11分

③ 當(dāng)時(shí)，與的情況如下：

	↘		↗

所以的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是,

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上存在最小值．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023153496488138/SYS201310302316140082686822_DA.files/image054.png">,

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是．

綜上，的取值范圍是．                     14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值.