Question

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通項a_n，b_n．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質,等差數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{

bn

}是等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的通項公式求出

bn

的通項公式，進而求出b_n，a_n．

解答： 解：∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列
∴2b_n=a_n+a_n+1①，
a_n+1²=b_n•b_n+1②．
由②得a_n+1=

bnbn+1

③．
將③代入①得，對任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn-1bn

+

bnbn+1

．
∵b_n＞0，
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差數(shù)列．
設數(shù)列{

bn

}的公差為d，
由a₁=1，b₁=2，a₂=3，得b₂=

9

2

．
∴

b1

=

2

，

b2

=

3 2

2

，
d=

2

2

．
∴

bn

=

n+1

2

2

，
∴b_n=

(n+1)2

2

．
a_n=

bn-1bn

=

n(n+1)

2

．

點評：本題考查了等差、等比數(shù)列的通項公式，利用構造等差數(shù)列法求得數(shù)列{

bn

}的通項公式是解答本題的突破口，本題還考查了學生的運算能力，運算要細心．