Question

【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρsin2θ－8cosθ＝0.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xOy.在直角坐標系中，傾斜角為α的直線l過點P(2，0)．

(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程；

(2)設(shè)點Q與點G的極坐標分別為，(2，π)，若直線l經(jīng)過點Q，且與曲線C相交于A，B兩點，求△GAB的面積．

Answer 1

【答案】(1) y2＝8x， (t為參數(shù))．(2) .

【解析】

（1）曲線C可化為ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，即得其直角坐標方程，根據(jù)已知寫出直線l的參數(shù)方程；（2）先求出直線l的參數(shù)方程為，將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程得到t2－8t－32＝0，利用韋達定理和直線參數(shù)方程t的幾何意義求出|AB|=16, 再求點G到直線l的距離，即得△GAB的面積．

(1)曲線C可化為ρ2sin2θ－8ρcosθ＝0，

其直角坐標方程為y2＝8x，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．

(2)將點的極坐標化為直角坐標得(0，－2)，易知直線l的傾斜角α＝，

所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．

將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得，

整理得t2－8t－32＝0，Δ＝(8)2＋4×32＝255＞0，

設(shè)t1，t2為方程為t2－8t－32＝0的兩個根，則t1＋t2＝8，t1·t2＝－32，

所以.

由極坐標與直角坐標互化公式得點G的直角坐標為(－2，0)，易求點G到直線l的距離，所以.