Question

6．已知△ABC滿足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1-λ}{2}$$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則△ABC的面積是$2\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC的中點(diǎn)為D，根據(jù)條件和O是△ABC的外心，利用兩個向量的加減法的法則及其幾何意義，求出$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，可得BD⊥AC和B、O、D三點(diǎn)共線，在直角三角形中求出
sin∠BAC，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積；當(dāng)λ=0時，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面積．

解答 解：如圖：O是△ABC的外心，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，
∵$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}$=$（λ-1）\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$=$（λ-1）\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）$，
則$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，即B、O、D三點(diǎn)共線．
∵O是△ABC的外心，∴OD⊥AC，則BD⊥AC，∴sin∠BAC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×|AC|×sin∠BAC$=$2\sqrt{5}$；
當(dāng)λ=0時，此時$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，即AB⊥BC，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×|AB|×|BC|$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{16-9}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
綜上可得，△ABC的面積是$2\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
故答案為：$2\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的基本定理和運(yùn)算法則、兩個向量的加減法的法則及其幾何意義，三角形的外心定理、直角三角形的邊角關(guān)系，以及三角形的面積公式，屬于難題．