Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）=4lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+（{4-a}）x（{a∈R}）$．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在極值，對于任意的0＜x₁＜x₂，存在正實數(shù)x₀，使得f（x₁）-f（x₂）=f'（x₀）•（x₁-x₂），試判斷x₁+x₂與2x₀的大小關(guān)系并給出證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）分別計算f′（x₀）和f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$），作差得到f′（x₀）-f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則t＞1，得到關(guān)于t的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{4}{x}$-ax+（4-a）=-$\frac{（x+1）（ax-4）}{x}$，
當(dāng)a≤0時，則f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，則由f′（x）=0得，x=$\frac{4}{a}$，x=-1（舍去）；
當(dāng)x∈（0，$\frac{4}{a}$）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\frac{4}{a}$，+∞）時，f′（x）＜0；
所以f（x）在（0，$\frac{4}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{4}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\frac{4}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{4}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時，f（x）存在極值．
f（x₁）-f（x₂）=4（lnx₁-lnx₂）-$\frac{1}{2}$a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（4-a）（x₁-x₂），
由題設(shè)得f′（x₀）=$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=$\frac{4（l{nx}_{1}-l{nx}_{2}）}{{{x}_{1}-x}_{2}}$-$\frac{1}{2}$a（x₁+x₂）+（4-a），
又f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$\frac{8}{{x}_{1}{+x}_{2}}$-a•$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$+4-a，
所以f′（x₀）-f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）=$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則t＞1，則$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$（t＞1），
令g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$（t＞1），則g′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（t）＞g（1）=0，故$ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$＞0，
又因為x₂-x₁＞0，因此f′（x₀）-f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＞0，即f′（$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$）＜f′（x₀），
又由f′（x）$\frac{4}{x}$-ax+（4-a）知f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$＞x₀，即x₁+x₂＞2x₀．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查計算能力，是一道綜合題．