Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=3，|

b

|=2

3

，且

a

⊥（

a

+

b

），則

a

與

b

的夾角為（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  2π

  3

• C、

  3π

  4

• D、

  5π

  6

Answer 1

分析：設(shè)

a

與

b

的夾角為θ，根據(jù)

a

⊥（

a

+

b

），則有

a

•（

a

+

b

）=0，利用向量的運(yùn)算性質(zhì)，即可求出cosθ=-

3

2

，結(jié)合向量夾角的取值范圍，即可求得答案．

解答：解：設(shè)

a

與

b

的夾角為θ，
∵

a

⊥（

a

+

b

），則

a

•（

a

+

b

）=0，
∴|

a

|²+

a

•

b

=0，即|

a

|²+|

a

|•|

b

|•cosθ=0，
又∵|

a

|=3，|

b

|=2

3

，
∴3²+3×2

3

•cosθ=0，則cosθ=-

3

2

，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=

5π

6

，
故

a

與

b

的夾角為

5π

6

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角，數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系．根據(jù)數(shù)量積的定義可以求解兩個(gè)向量的夾角，注意兩個(gè)向量的夾角要共起點(diǎn)所形成的角，熟悉向量夾角的取值范圍為[0，π]，其中夾角為0時(shí)，兩向量同向，夾角為π時(shí)，兩向量反向．兩個(gè)向量互相垂直，則其數(shù)量積為0．屬于中檔題．