Question

已知函數(shù)f(x)=2asin2(

3π

2

+x)+bsin(π+x)sin(x-

3π

2

)，且f(0)=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

．
（1）求a，b的值；    
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和二倍角三角公式，化簡(jiǎn)得f（x）=a（1+cos2x）-

1

2

bsin2x，再結(jié)合題中f（0）=2且f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，建立關(guān)于a、b的方程組并解之，即得實(shí)數(shù)a，b的值； 
（2）利用輔助角公式化簡(jiǎn)整理，得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式，求出f（x）在R上的單調(diào)減區(qū)間，再與區(qū)間[-π，π]求交集，即可得到函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵sin（

3π

2

+x）=-cosx，sin（π+x）=-sinx，sin（x-

3π

2

）=cosx
∴f(x)=2asin2(

3π

2

+x)+bsin(π+x)sin(x-

3π

2

)
=2acos²x-bsinxcosx=a（1+cos2x）-

1

2

bsin2x
∵f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

∴2a=2且a（1+cos

2π

3

）-

1

2

bsin

2π

3

=

1

2

+

3

2

解之得a=1，b=-2
（2）由（1）得：f（x）=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得函數(shù)的減區(qū)間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，將其與區(qū)間[-π，π]求交集，得
函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

7π

8

，-

3π

8

]和[

π

8

，

5π

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)的表達(dá)式，在已知函數(shù)對(duì)應(yīng)值的情況下求參數(shù)a、b的值，并求函數(shù)在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間，著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．