Question

如圖，直線λ與半徑為1的圓F相切于C．動點P到直線λ的距離為d，已知

|PF|

d

=

2

2

，且

2

3

≤d≤

3

2

．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求點P運動形成的軌跡方程；
（Ⅱ）若點G滿足

GF

=2

FC

，點M滿足

MP

=3

PF

且線段MG的垂直平分線經(jīng)過P，求△PGF的面積．

Answer 1

考點：軌跡方程,正弦定理

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用兩點的距離公式及點到直線的距離公式將已知幾何條件用坐標(biāo)表示，化簡求出軌跡方程，注意求出定義域．
（2）利用已知條件的向量關(guān)系求出G為左焦點，利用中垂線的性質(zhì)及橢圓的定義列出方程組，求出三角形PGF的三邊長，利用勾股定理判斷出三角形的性質(zhì)，利用三角形的面積公式去求出三角形的面積．

解答： 解：（1）以CF所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)（1，0），直線λ：x=2
則|PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
則

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

，
化簡得

x2

2

+y²=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

，
即動點p的軌跡方程為

x2

2

+y²=1（

1

2

≤x≤

4

3

）；
（2）由已知，得|

FG

|=2|

FC

|=2，
∴G為左焦點
又∵

| PG |=| PM |=3| PF | | PG |+| PF |=2 2

，
∴

| PF |= 2 2 | PG |= 3 2 2

，
又∵|

GF

|=2，
∴|

PF

|²+|

GF

|²=|

PG

|²，
∴△PGF為直角三角形．
∴S△PFG=

1

2

|

PF

|•|

FG

|=

1

2

×

2

2

×2=

2

2

．

點評：本題考查求軌跡方程時，在化簡方程時要注意同解變形，求出方程的定義域、考查解決焦點三角形問題�？紤]利用圓錐曲線的定義．