Question

【題目】在正方體中，分別是的中點，則（ ）

A. B. C. 平面 D. 平面

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：對于選項A，由條件可得直線MN與平面相交，因為直線在平面內(nèi)，可得直線MN與直線不可能平行，判斷選項A不對；對于選項B，因為點是的中點，所以要證，只需證。而，所以與不垂直，選項B不對；對于選項C，可用反證法推出矛盾。假設平面，由直線與平面垂直的定義可得。因為是的中點，由等腰三角形的三線合一可得 。這與矛盾。故假設不成立。所以選項C不對；對于選項D，可找與直線MN平行的一條直線，證其垂直于平面。故分別取的中點P、Q，連接PM、QN、PQ。可得四邊形為平行四邊形。進而可得。正方體中易得，由直線與平面垂直的判定定理可得平面。進而可得平面。

詳解：對于選項A，因為分別是的中點，所以點平面，點 平面，所以直線MN是平面的交線，

又因為直線在平面內(nèi)，故直線MN與直線不可能平行，故選項A錯；

對于選項B，正方體中易知 ，因為點是的中點，所以直線 與直線不垂直。故選項B不對；

對于選項C ,假設平面，可得。因為是的中點，

所以 。這與矛盾。故假設不成立。

所以選項C不對；

對于選項D,分別取的中點P、Q，連接PM、QN、PQ。

因為點是的中點，所以且。同理且。

所以且，所以四邊形為平行四邊形。

所以。

在正方體中，

因為 ，平面 ，平面，

所以平面。因為，所以平面。

故選項D正確。

故選D.