Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅰ）求、．

（Ⅱ）設(shè)，求的最大值．

（Ⅲ）證明函數(shù)的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ．（Ⅱ）．（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的定義知， ，求得， ；（2）， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 在的最大值為；（3）函數(shù)的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn)等價(jià)于，等價(jià)于，即，通過(guò)求導(dǎo)可證。

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

由題意可得， ，

故， ．

（Ⅱ），則，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在的最大值為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

∴函數(shù)的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn)等價(jià)于，

而等價(jià)于，

設(shè)函數(shù)，則，

∴當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴在的最小值為，

綜上，當(dāng)時(shí)， ，

即，

故函數(shù)的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn)．