Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：，，，且對(duì)一切，均有.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)（），記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，問(wèn)：是否存在正整數(shù)，對(duì)一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析; （2） （3）存在，2或3

【解析】

(1)原式兩邊同時(shí)除以再根據(jù)等差數(shù)列定義證明即可.

(2)代入(1)中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式,再利用數(shù)列前項(xiàng)積與通項(xiàng)的方法求解即可.

(3)根據(jù)(2)中的方法求得關(guān)于的解析式,再將代入,再根據(jù)正整數(shù),分情況討論的取值,將的關(guān)系式看成函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的分析即可.

(1)證明：由,,兩邊除以,得

,即,

所以,數(shù)列為等差數(shù)列,所以,

(2)當(dāng)時(shí),由(1),

當(dāng)時(shí)有,

當(dāng)時(shí)有,,兩式相除有.

當(dāng)時(shí), 也成立.故,

(3)由題,同(2)有.

又

因?yàn)閷?duì)一切,均有恒成立,

所以當(dāng)時(shí),.

若,則,,故,故不成立.

若,,

故,,,,.

且當(dāng)時(shí),. .故成立.

若,則,故,,

,.

又當(dāng)時(shí), ,故,故成立.

若,則,

令,.

故在上是增函數(shù),又.所以.

故,故不成立.

綜上所述, 的取值為2或3；