Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P是橢圓上一點，且△PF₁F₂面積的最大值等于2．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線y=2上是否存在點Q，使得從該店向橢圓所引的兩條切線互相垂直？若存在求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓性質(zhì)列出a，b，c的方程，其中離心率e=$\frac{c}{a}$，分析圖形知道當點P在短軸端點時，△PF1F2 面積取最大值，從而建立關于a，b，c的方程，解出a²，b²，c²，即求出橢圓的標準方程．
（2）對于存在性問題，要先假設存在，先設切線y=k（x-m）+2，與橢圓聯(lián)立，利用△=0，得出關于斜率k的方程，利用兩根之積公式k₁k₂=-1，求出Q點坐標．

解答 解：（1）∵點P在橢圓上，∴-b≤y_p≤b，
∴當|y_p|=b時，△PF₁F₂面積最大，
且最大值為$\frac{1}{2}•2c•b$-bc=2，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=4，b²=c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）假設直線y=2上存在點Q滿足題意，
設Q（m，2），當m=±2時，從Q點所引的兩條切線不垂直．
當m≠±2時，設過點Q向橢圓所引的切線的斜率為k，則l的方程為y=k（x-m）+2，
代入橢圓方程，消去y，整理得：（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
設兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的兩個根，
∴k₁k₂=$\frac{2}{{m}^{2}-4}$=-1，
解得m=±$\sqrt{2}$，點Q坐標為（$\sqrt{2}$，2），或（-$\sqrt{2}$，2）．
∴直線y=2上兩點（$\sqrt{2}$，2），（-$\sqrt{2}$，2）滿足題意．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系的判斷，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，分類討論要全面．