Question

給出下列命題：
①定義在[a，b]上的偶函數(shù)以f（x）=x²+（a+5）x+b最小值為5；
②若log_m3＜log_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點A（1，0）對稱；
④已知

2

2-4

+

6

6-4

=2，

5

5-4

+

3

3-4

=2，

7

7-4

+

1

1-4

=2，

10

10-4

+

-2

-2-4

=2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為

n

n-4

+

8-n

(8-n)-4

=2，(n≠4)其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①利用偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱和定義f（-x）=f（x）即可得出；
②利用對數(shù)的換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其不等式的性質(zhì)即可得出；
③利用奇函數(shù)的性質(zhì)和平移變換即可得出；
④觀察已知等式得到規(guī)律：左邊兩個分數(shù)的分子之和為8，分母分別為分子減去4，右邊都是2．據(jù)此可得到一般性的等式．

解答： 解：①定義在[a，b]上的偶函數(shù)f（x）=x²+（a+5）x+b，
∴

a+b=0 f(-x)=f(x)

，即

a+b=0 a+5=0

，解得a=-b=-5．
∴f（x）=x²+5≥5，當且僅當x=0時取等號．
∴f（x）的最小值為5；
因此①正確．
②若log_m3＜log_n3＜0，則

lg3

lgm

＜

lg3

lgn

＜0，∴l(xiāng)gn＜lgm＜0，解得0＜n＜m＜1；因此②正確．
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點對稱，
而函數(shù)f（x+1）的圖象是由函數(shù)f（x）的圖象向左平移一個單位得到的，
因此函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱；
因此③不正確．
④由

2

2-4

+

6

6-4

=2，

5

5-4

+

3

3-4

=2，

7

7-4

+

1

1-4

=2，

10

10-4

+

-2

-2-4

=2，
得到以上各式的規(guī)律：左邊兩個分數(shù)的分子之和為8，分母分別為分子減去4，右邊都是2．
據(jù)此得到一般性的等式為

n

n-4

+

8-n

(8-n)-4

=2，(n≠4)．
綜上可知：其中正確命題的序號是①②④．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、其不等式的性質(zhì)、奇函數(shù)的性質(zhì)和平移變換等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了觀察分析問題的能力，屬于中檔題．