Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2） 以橢圓的長軸為直徑作圓，設(shè)為圓上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，過圓心作直線的垂線交橢圓右準(zhǔn)線于點(diǎn)．問：直線能否與圓總相切，如果能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，說明理由．

Answer 1

(1) ；（2）能，點(diǎn).

解析試題分析：（1）求橢圓方程，一般要找到兩個條件，本題中有離心率為，即，另外橢圓過點(diǎn)，說明，這樣結(jié)論易求；（2）存在性命題，問題假設(shè)存在，設(shè)，再設(shè)，首先有，，，于是，寫出直線方程為，讓它與橢圓右準(zhǔn)線相交，求得，與圓相切，則有，即，這是關(guān)于的恒等式，由此利用恒等式的知識可求得，說明存在，若求不出，說明假設(shè)錯誤，不存在.
（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/0/jvas6.png" style="vertical-align:middle;" />，可令，所以，，即，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                         6分
（2）存在點(diǎn)                               7分
設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e2/0/y5vth1.png" style="vertical-align:middle;" />在以橢圓的長軸為直徑作圓上，且不在坐標(biāo)軸上的任意點(diǎn)，
所以 且，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c7/b/ol7i52.png" style="vertical-align:middle;" />，
由，所以，，所以直線的方程為，         10分
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，令，得，
即，                              12分
所以，
又，與圓總相切，故，于是有，
，即恒成立，解之可得，
即存在這樣點(diǎn)，使得與圓總相切．                   16分
考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓、圓的綜合性問題.