Question

有對(duì)稱(chēng)中心的曲線叫做有心曲線,顯然圓、橢圓、雙曲線都是有心曲線. 過(guò)有心曲線的中心的弦叫有心曲線的直徑,（為研究方便,不妨設(shè)直徑所在直線的斜率存在）.

定理：過(guò)圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－1．

    （Ⅰ）寫(xiě)出該定理在橢圓中的推廣,并加以證明；

     （Ⅱ）寫(xiě)出該定理在雙曲線中的推廣；你能從上述結(jié)論得到有心圓錐曲線（包括橢圓、雙曲線、圓）的一般性結(jié)論嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論.

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得,A、B關(guān)于中心O（0,0）對(duì)稱(chēng),所以A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（,B（.

P（上橢圓上任意一點(diǎn),顯然,

因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)都在橢圓上,所以有

, ①

,  ②.

而,

由①－②得：.

所以該定理在橢圓中的推廣為：過(guò)橢圓上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值.

   （Ⅱ）在雙曲線中的推廣為：過(guò)雙曲線上異于直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值

       該定理在有心圓錐曲線中的推廣應(yīng)為：過(guò)有心圓錐曲線上異于 直徑兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連線,則兩條連線的斜率之積為定值－