Question

乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．
（1）求乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局的概率；
（2）求比賽局數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局，分為乙獲勝需要打6局或7局，根據(jù)二項分布的概率計算公式及相互獨立事件的概率計算公式及互斥事件的概率計算公式即可．
（2）利用二項分布、相互獨立事件的概率計算公式及互斥事件的概率計算公式即可．

解答：解：（1）∵兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同，∴P（甲）=P（乙）=

1

2

．
∵乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局，∴乙獲勝需要打6局或7局．
①乙獲勝需要打6局時，乙在前5局中只贏了3局，其概率P6=

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)2×

1

2

=

10

26

；
②乙獲勝需要打7局時，乙在前6局中只贏了3局，其概率P₇=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3×

1

2

=

20

27

．
根據(jù)互斥事件的概率計算公式乙獲勝且比賽局數(shù)多于5局的概率=P₆+P₇=

10

26

+

20

27

=

5

16

；
（2）P（X=4）=(

1

2

)4+(

1

2

)4=

1

23

；
P（X=5）=2

C

3 4

(

1

2

)3×

1

2

×

1

2

=

1

22

；
P（X=6）=2P₆=2×

10

26

=

5

24

；
P（X=7）=2P₇=2×

20

27

=

5

24

．
其分步列如下表：
∴E（X）=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

點評：熟練掌握二項分布的概率計算公式、相互獨立事件的概率計算公式及互斥事件的概率計算公式是解題的關(guān)鍵．