Question

現(xiàn)有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為

3

4

，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為

2

3

，命中得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．
（I）求該射手恰好命中兩次的概率；
（II）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析：（I）設(shè)“該射手恰好命中兩次”為事件A，分為兩種情況：一種是兩次射向甲靶都命中而向乙靶射擊一次沒有命中，其概率為

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)；另一種是兩次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射擊一次命中，其概率為

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

，相加即可得出．
（II）由題意可得：X=0，1，2，3，4．P（X=0）利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出；P（X=1）兩次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射擊一次沒有命中；P（X=2）一種是兩次射向甲靶都命中而向乙靶射擊一次沒有命中，另一種是兩次射向甲靶都沒有命中而向乙靶射擊一次命中；P（X=3）是兩次射向甲靶只有命中一次而向乙靶射擊一次命中；P（X=4）表示3次射擊都命中．分別利用相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式計算出概率即可．

解答：解：（I）設(shè)“該射手恰好命中兩次”為事件A，則P（A）=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

=

21

48

=

7

16

．
（II）由題意可得：X=0，1，2，3，4．
P（X=0）=(1-

3

4

)2×(1-

2

3

)=

1

48

；
P（X=1）=

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)=

6

48

；
P（X=2）=(

3

4

)2×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)2×

2

3

=

11

48

；
P（X=3）=

C

1 2

×

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

=

12

48

；
P（X=4）=(

3

4

)2×

2

3

=

18

48

．
∴E（X）=0×

1

48

+1×

6

48

+2×

11

48

+3×

12

48

+4×

18

48

=

17

6

．

點評：本題考查了相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式、分類討論的思想方法等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．