Question

已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意非負(fù)整數(shù)均有：.

（1）求；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)；

（3）令，求證：.

 

Answer 1

【答案】

：（1），；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）對(duì)m、n賦值，想方設(shè)法將條件變出.為了得到，顯然令m=n即可.

為了得到，令m=1，n＝0即可.

（2）首先要想辦法得相鄰兩項(xiàng)（三項(xiàng)也可）間的遞推關(guān)系.

要證數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明為常數(shù)即可.

（3）數(shù)列中有關(guān)和的不等式的證明一般有以下兩種方向，一是先求和后放縮，二是先放縮后求和.在本題中，易得，∴

這是典型的用裂項(xiàng)法求和的題.故先求出和來(lái)，然后再用放縮法證明不等式.

試題解析：（1）令得，          1分

令，得，∴        3分

（2）令，得：

∴，又，

∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

∴

∴

∴            9分

（3）∴

∴    13分

考點(diǎn)：1、遞推數(shù)列；2、等差數(shù)列；3、不等式的證明.