Question

20．己知函數f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$，g（x）=f （x）+f′（x），討論g（x）的單調性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 求出g（x）的表達式，得到g（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最值即可．

解答 解：f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$，f′（x）=-x²+2x，
∴g（x）=f （x）+f′（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2x，
g′（x）=-x²+2，令g′（x）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，
∴g（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）遞減，在（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）遞增，
∴g（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{2}$）遞增，在（$\sqrt{2}$，2]上遞減，
而g（1）=$\frac{5}{3}$，g（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，g（2）=$\frac{4}{3}$，
故g（x）的最大值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，最小值是$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道基礎題．