Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，光線從點(diǎn)P(0,-3)出發(fā)經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F₂，到直線：x+y-2=0后被它反射，反射光線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)F₁.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經(jīng)過(guò)P的直線l與橢圓C相交于A，B，D（0,m）為y軸上一點(diǎn)，若=0，求m的取值范圍.

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為=1(a＞b＞0),點(diǎn)F₂,P關(guān)于直線：x+y-2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，P′的坐標(biāo)分別為(2,2-c),(5,2)，則點(diǎn)P′,E,F₁三點(diǎn)共線，

∴，c²+5c-6=0，(c＞0)

∴c=1,又橢圓的離心率e=，

∴a=2,b=1，橢圓C的方程為+y²=1.

（2）因?yàn)?SUB>=0，所以，D是線段AB的中垂線與y軸的交點(diǎn)，設(shè)：A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),AB的中點(diǎn)M(x₀,y₀)，直線l的斜率為k，則有

消去y得(1+2k²)x²-12kx+16=0，

∴∴x₀=,y₀=kx₀-3=.

線段AB的中垂線方程為y+=-(x-)，

∴m=.

∵Δ=144k²-64(1+2k²)=16k²-64＞0,

∴1+2k²＞90＜m＜

又當(dāng)l⊥x軸時(shí)，m=0,∴0≤m＜