Question

已知曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到定直線(xiàn)L：x=-1的距離相等，
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）直線(xiàn)m過(guò)（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？

Answer 1

（1）由拋物線(xiàn)的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)：y²=4x．
（2）設(shè)直線(xiàn)m的方程為y-1=k（x+2），聯(lián)立

y-1=k(x+2) y2=4x

．
化為k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
①當(dāng)k=0時(shí)，直線(xiàn)m∥x軸，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)k≠0時(shí)，若直線(xiàn)與m相切時(shí)，直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)△=0，化為2k²+k-1=0，解得k=-1或k=

1

2

．
當(dāng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)相交時(shí)，線(xiàn)m與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)△＞0，化為2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

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2

．（k≠0）．
當(dāng)△＜0，直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，由△＜0化為2k²+k-1＞0，解得k＞

1

2

或k＜-1．
綜上可知：當(dāng)k=0或k=-1或k=

1

2

時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)-1＜k＜

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2

且k≠0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)k＞

1

2

或k＜-1時(shí)，直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)．