Question

13．已知函數(shù)$f（x）={x^2}-\frac{ln|x|}{x}$，有下列四個命題：
①函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）是單調函數(shù)；
③當x＞0時，函數(shù)f（x）＞0恒成立；
④當x＜0時，函數(shù)f（x）有一個零點，
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)f（x）+f（-x）≠0，判斷f（x）不是奇函數(shù)；
②根據(jù)x＞0時f（x）=x²-$\frac{lnx}{x}$，利用導數(shù)判斷x∈（0，+∞）時f（x）不是單調函數(shù)；
③由②知x=x₀時f（x）在（0，+∞）上取得最小值，求證f（x₀）＞0即可；
④由根的存在性定理得出f（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{e}$）內有一個零點．

解答 解：對于①，函數(shù)$f（x）={x^2}-\frac{ln|x|}{x}$的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
任取定義域內的x，有f（-x）=x²+$\frac{ln|x|}{x}$，
且f（x）+f（-x）=2x²≠0，
∴f（x）不是奇函數(shù)，①錯誤；
對于②，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-\frac{lnx}{x}，x＞0}\\{{x}^{2}-\frac{ln（-x）}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
當x＞0時，f（x）=x²-$\frac{lnx}{x}$，
f′（x）=2x-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}-1+lnx}{{x}^{2}}$，
令h（x）=2x³-1+lnx，則h（1）=1＞0，
h（${（\frac{1}{2}）}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{1}{3}$ln$\frac{1}{2}$＜0；
∴存在x₀∈（${（\frac{1}{2}）}^{\frac{1}{3}}$，1），使h（x₀）=0；
∴x∈（0，x₀）時，f′（x）＜0，f（x）是單調減函數(shù)；
x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是單調增函數(shù)，
∴②錯誤；
對于③，由②知，當x=x₀時，f（x）在（0，+∞）上有最小值，
且2${{x}_{0}}^{3}$+lnx₀-1=0，∴$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$-2${{x}_{0}}^{2}$，
則x=x₀時，y=${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$=3${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$，
由${（\frac{1}{2}）}^{\frac{1}{3}}$＜x₀＜1，得$\frac{1}{2}$＜${{x}_{0}}^{3}$＜1，
∴$\frac{3}{2}$＜3${{x}_{0}}^{3}$＜1，
則3${{x}_{0}}^{2}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{3x}_{0}}^{3}-1}{{x}_{0}}$＞0，
∴x＞0時，f（x）＞0恒成立，③正確；
對于④，當x＜0時，f（x）=x²+$\frac{ln（-x）}{x}$，
且f（-1）=1＞0，f（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-e＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{e}$）內有一個零點，④正確；
綜上，正確的命題是③④．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的性質和導數(shù)的綜合應用問題，也考查了零點的概念與應用問題，是難題．