Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N為側棱PC上的兩個三等分點，如圖所示，
(Ⅰ)求證：AN∥平面MBD；
(Ⅱ)求異面直線AN與PD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求二面角M-BD-C的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)證明：連接AC交BD于O，連接OM， ∵底面ABCD為矩形， ∴O為AC中點，  ∵M，N為側棱PC的三等分點， ∴CN= MN，∴OM∥AN，  ∵OM平面MBD，AN平面MBD， ∴AN∥平面MBD。
(Ⅱ)解：如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz， 則A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)， P(0，0，3)，M(2，4，1)，N(1，2，2)， ， ∴， ∴異面直線AN與PD所成角的余弦值為。 (Ⅲ)解：∵側棱PA ⊥底面ABCD， ∴平面BCD的一個法向量為=(0，0，3)， 設平面MBD的一個法向量為m=(x，y，z)，  ，并且， ∴， 令y=1，得x=2，x= -2， ∴平面MBD 的一個法剛量為m=(2，1，-2)， ∴， 由圖可知二面角M- BD-C的大小是銳角， 二面角M-BD-C大小的余弦值為。