Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程;

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時，求直線的斜率的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以故橢圓C的方程為 

（Ⅱ）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G，

 由得.           ……①

由解得.    ……②

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052603482758963664/SYS201205260350266834114793_DA.files/image018.png">是方程①的兩根，所以，于是

=，     .

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052603482758963664/SYS201205260350266834114793_DA.files/image023.png">，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，

又直線,方程分別為

所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為 

即  亦即

解得，此時②也成立.    

故直線斜率的取值范圍是

【解析】略