Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為，且過點（4，-）（1）求雙曲線的方程.（2）若點M(3,m)在雙曲線上，求證：.（3）若點A,B在雙曲線上，點N(3,1)恰好是AB的中點，求直線AB的方程(12分)

 

Answer 1

【答案】

（1） .（2）。

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)離心率為,可知雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)雙曲線的方程為,再根據(jù)它過點（4，-）代入雙曲線方程求出參數(shù)值，方程確定.

(2)根據(jù)點M(3,m)在雙曲線上,可求出m值，然后求出,從而得到.

(3)因為N（3，1）為弦AB的中點，可利用點差法求得直線的斜率，進而寫出點斜式方程.

（1） ∵離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線.∵雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上∴設(shè)雙曲線的方程為，，

∵點（4，-）在雙曲線上∴，∴雙曲線的方程為，.（2）∵M(3,m)在雙曲線上，∴，∵，，∴

∴∴.（3）∵點N(3,1)恰好是弦AB的中點∴有點差法易得，∴直線AB的方程為

∴

考點：雙曲線的方程及和性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系.

點評：當知道弦中點時，可利用點差法求得弦所在直線的斜率，寫出點斜式方程再化成一般式方程即可.