Question

如圖過拋物線y²=4x焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，直線AO交拋物線準線于C點．
（1）求證：BC⊥y軸；
（2）求|AB|+|BC|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）y²=4x焦點F（1，0），準線x=-1，若直線AB垂直于x軸時，直線BC為y=-2，從而BC⊥y軸；若直線AB不垂直于x軸，設(shè)AB的方程為：y=k（x-1），k≠0，聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，由韋達定理得y₁y₂=-4，x₁x₂=1，求出直線BC：y=-

2

x1

，從而BC⊥y軸．
（2）|AB|=

(x1- 1 x1 )2+(2 x1 + 2 x1 )2

=

x12+ 1 x2 -2+4x1+ 4 x1 +8

≥4，當且僅當x₁=1時取最小值，由此能求出|AB|+|BC|的最小值．

解答： （1）證明：∵y²=4x焦點F（1，0），準線x=-1，
∴若直線AB垂直于x軸時，A（1，2），B（1，-2），
直線AO：y=2x，與準線交點為C（-1，-2），
∴直線BC為y=-2，∴BC⊥y軸．
若直線AB不垂直于x軸，設(shè)AB的方程為：y=k（x-1），k≠0，
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，得y2-

4

k

y-4=0，
∵直線與拋物線交于A，B兩點，
∴

k2≠0 △=(2k2+4)2-4k4＞0

，即k≠0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線y²=4x上，
∴y1=2

x1

，y2=-2

x2

，
由y₁y₂=-4

x1x2

=-4，得x₁x₂=1，
∴A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

）=（

1

x1

，

-2

x1

），
∴直線AO：y=

2

x1

x，與準線x=-1交于C（-2，

-2

x1

），
∴直線BC：y=-

2

x1

，
∴BC⊥y軸．
綜上：BC⊥y軸．
（2）解：由（1）得|AB|=

(x1- 1 x1 )2+(2 x1 + 2 x1 )2

=

x12+ 1 x12 -2+4x1+ 4 x1 +8

≥4，
當且僅當x₁=1時取最小值，
∴|AB|+|BC|取最小值時，x₁=1，A（1，2），B（1，-2），C（-2，-2），
∴（|AB|+|BC|）_min=4+3=7．
∴|AB|+|BC|的最小值為7．

點評：本題考查直線與y軸垂直的證明，考查兩線段和的最小值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．