Question

四邊形ABCD中，

.

AB

=1，

.

BC

=5，

.

CD

=5，

.

DA

=7，且∠DAB=∠BCD=90°，則對角線

.

AC

長為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)所求向量的模為x，角B=θ，由∠DAB=∠BCD=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和表示出角D=π-θ，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD中，利用余弦定理表示出cos（π-θ），根據(jù)誘導(dǎo)公式得到cosθ=-cos（π-θ），列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，進而所求向量的模．

解答：解：設(shè)|

.

AC|

=x，∠B=θ，
由∠DAB=∠BCD=90°，則∠D=180°-θ，
△ABC中，|

.

AB|

=1，|

.

BC

|=5，|

.

AC|

=x，
則cosθ=

12+52-x2

2×1×5

=

26-x2

10

；
△ACD中，|

.

CD|

=5，|

.

DA|

=7，|

.

AC|

=x，
則cos(180°-θ)=

72+52-x2

2×7×5

=

74-x2

70

；
∵cos（180°-θ）=-cosθ，
∴

74-x2

70

=-

26-x2

10

?x=

32

=4

2

．
故答案為：4

2

點評：此題考查了余弦定理，以及四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．