Question

在數列{a_n}、{b_n}中，已知a₁=6，b₁=4，且b_n、a_n、b_n+1成等比數列，a_n、b_n+1、a_n+1成等差數列，（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄及b₂、b₃、b₄，由此猜想{a_n}、{b_n}的通項公式，并證明你的結論；
（Ⅱ）證明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+

1

a3+b3

+…+

1

an+bn

＜

7

20

．

Answer 1

分析：Ⅰ由已知可知2b_n+1=a_n+a_n+1，a_n²=b_n•b_n+1，把a₁=6，b₁=4，代入計算得：a₂=12，a₃=20，a₄=30，b₂=9，b₃=16，b₄=25，
由此猜想a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²（n∈N⁺），再用數學歸納法證明猜想．
Ⅱ因為

1

a1+b1

=

1

6+4

=

1

10

＜

7

20

．當n≥2時，由a_n+b_n=（n+1）（n+2）+（n+1）²=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1）

1

an+bn

，然后用放縮法進行證明．

解答：解：Ⅰ．由已知b_n、a_n、b_n+1成等比數列，
a_n、b_n+1、a_n+1成等差數列，（n∈N⁺）
∴2b_n+1=a_n+a_n+1，a_n²=b_n•b_n+1，
∵a₁=6，b₁=4，代入計算得：
a₂=12，a₃=20，a₄=30，b₂=9，b₃=16，b₄=25，
由此猜想a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²（n∈N⁺），
證明：（1）當n=1，由上面計算知猜想的結論成立；
（2）假設當n=k（k＞1，k∈N⁺）時結論成立，
即a_k=（k+1）（k+2），b_k=（k+1）²，
則當n=k+1時，由于a_k²=b_k•b_k+1，
∴bk+1=

a 2 k

bk

=

(k+1)2(k+2)2

(k+1)2

=[(k+1)+1]2
∴當n=k+1時，結論b_n=（n+1）²成立，
又a_k+1=2b_k+1-a_k=2（k+2）²-（k+1）（k+2）
=（k+2）（k+3）=[（k+1）+1][（k+1）+2]
∴當n=k+1時，a_n=（n+1）（n+2）也成立
由（1）（2）所證可知對任意的自然數n∈N⁺，
結論a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²都成立；
Ⅱ．因為

1

a1+b1

=

1

6+4

=

1

10

＜

7

20

．
當n≥2時，由a_n+b_n=（n+1）（n+2）+（n+1）²
=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1）

1

an+bn

＜

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，

1

a1+b1

+

1

a2+b2

++

1

an+bn

＜

1

10

+

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)
=

1

10

+

1

2

(

1

2

-

1

n+1

)＜

1

10

+

1

4

=

7

20

證畢．

點評：本題綜合考查數列的性質和不等式的證明，在證明過程中要注意數學歸納法和放縮法的合理運用．