Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

（1）若f′（1）=3，求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程
（2）若函數f（x）在[1，e]上數為最小值為

3

2

．求實數a的值．

Answer 1

分析：（I）由題意，f（x）的定義域為（0，+∞），且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，由此能求出曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（II）由f′(x)=

x+a

x2

，進行分類討論，能求出函數f（x）在[1，e]上數為最小值為

3

2

時實數a的值．

解答：解：（I）由題意，f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
由f′（1）=3，得a=2．又當a=2時，f（1）=-2，f′（1）=3，
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為3x-y-5=0．…（6分）
（II）由（I）知，f′(x)=

x+a

x2

，
①若a≥-1，則x+a≥0，
即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

，（舍去）．  …（9分）
②若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上為減函數，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，
∴a=-

e

2

，（舍去）． …（12分）
③若-e＜a＜-1，當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，
-e＜a＜-1，當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數，
當-a＜x＜e時，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
∴a=-

e

，
綜上所述，a=-

e

．…（15分）

點評：本題考查切線方程的求法，考查滿足條件的實數值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．