Question

17．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“勾股圈方圖”巧妙的證明了勾股定理，成就了我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，后人稱之為“趙爽弦圖”．他是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角記為θ，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形θ對應(yīng)的邊為x，另一邊為y．可得2xy+1=25，x²+y²=25，從而解得x，y的值，sinθ=$\frac{x}{5}$

解答 解：由題意，設(shè)直角三角形θ對應(yīng)的邊為x，另一邊為y．
可得2xy+1=25，x²+y²=25，
解得x=3，y=4，
則sinθ=$\frac{x}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∵銳角記為θ，
那么：令$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=M＞0．
則1+sinθ=M²，
∴M²=$\frac{8}{5}$，
∴M=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，即$sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}$=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$
故答案為：$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

點評 本題考查三角恒等變換及化簡求值，半角公式的靈活運用，是中檔題．