Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且km=-

1

a2

．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若直線AB經(jīng)過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數(shù)k，是否存在a∈[2，+∞），使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，把A，B坐標(biāo)代入橢圓的方程相減整理求得直線AB的斜率的表達(dá)式，同時利用m和km的表達(dá)式，整理求得b．
（Ⅱ）設(shè)出C和直線的方程代入橢圓的方程，根據(jù)OACB是平行四邊形，推斷出

OC

=

OA

+

OB

進(jìn)而求得x_c和y_c的表達(dá)式，把點C代入橢圓，表示出k²，進(jìn)而利用a的范圍求得k²的范圍，進(jìn)而求得k的范圍，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則

x 2 1 a2 + y 2 1 b2 =1 x 2 2 a2 + y 2 2 b2 =1

，
兩式相減，得：

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0
又x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

=-

2b2x0

2a2y0

=-

b2x0

a2y0

，③
又∵m=

y0

x0

，km=-

1

a2

∴-

b2

a2

=-

1

a2

，∴b=1
（Ⅱ）設(shè)C（x_C，y_C），直線AB的方程為y=k（x-c）（k≠0），
代入橢圓方程

x2

a2

+y2=1，
得（a²k²+1）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²=0
若OACB是平行四邊形，則

OC

=

OA

+

OB

∴x_c=x₁+x₂=

2a2k2c

a2k2+1

，
y_c=y₁+y₂=k（x₁-c）+k（x₂-c）=k（x₁+x₂-2c）=

2kc

a2k2+1

∵C在橢圓上∴

x 2 c

a2

+

y

2 c

=1
∴

4a2k2c2

(a2k2+1)2

+

4a2c2

(a2k2+1)2

=1
∴4k²-c²（a²k²+1）=（a²k²+1）² ∴
4k²c²=a²k²+1∴k²=

1

4c2-a2

∵c²=a²-1，a∈[2，+∞]，∴k²=

1

3a2-4

∈(0，

1

8

)
∴-

2

4

≤k≤

2

4

且k≠0
∴當(dāng)-

2

4

≤k≤

2

4

且k≠0時，存在a∈[2，+∞]，
使得四邊形OACB是平行四邊形；
當(dāng)k＜-

2

4

或k＞

2

4

時，不存在a∈[2，+∞]，
使得四邊形OACB是平行四邊形．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解決此類問題一般是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數(shù)、與交點坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題．