Question

【題目】已知向量，向量，函數(shù).

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）求證：存在大于的正實(shí)數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解.（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二倍角降冪公式以及輔助角公式得出，由計(jì)算出的取值范圍，然后利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上是否存在交點(diǎn)問題.

（1），，，，

因此，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

（2）存在大于的正實(shí)數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解，

即存在大于的正實(shí)數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解，

令，，

則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，

又，，，，

函數(shù)與函數(shù)在有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

故存在大于的正實(shí)數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解.